3.1. Модель цепи постоянного тока
Если в электрической цепи действуют постоянные напряжения и протекают постоянные токи, то модели реактивных элементов L и C существенно упрощаются.
Модель сопротивления остается прежней и связь между напряжением и током определяется законом Ома в виде
В идеальной индуктивности мгновенные значения напряжения и тока связаны соотношением
Аналогично в емкости связь между мгновенными значениями напряжения и тока определяется в виде
Таким образом, в модели цепи постоянного тока присутствуют только сопротивления (модели резисторов) и источники сигнала, а реактивные элементы (индуктивности и емкости) отсутствуют.
3.2. Расчет цепи на основе закона Ома
Этот метод удобен для расчета сравнительно простых цепей с одним источником сигнала . Он предполагает вычисление сопротивлений участков цепи, для которых известна величина тока (или напряжения), с последующим определением неизвестного напряжения (или тока). Рассмотрим пример расчета цепи, схема которой приведена на рис. 3.1, при токе идеального источника А и сопротивлениях Ом, Ом, Ом. Необходимо определить токи ветвей и , а также напряжения на сопротивлениях , и .
Известен ток источника , тогда можно вычислить сопротивление цепи относительно зажимов источника тока (параллельного соединения сопротивления и последовательно соединен-
Рис. 3.1. ных сопротивлений и ),
Тогда напряжение на источнике тока (на сопротивлении ) равно
Затем можно найти токи ветвей
Полученные результаты можно проверить с помощью первого закона Кирхгофа в виде . Подставляя вычисленные значения, получим А, что совпадает с величиной тока источника.
Зная токи ветвей, нетрудно найти напряжения на сопротивлениях (величина уже найдена)
По второму закону Кирхгофа . Складывая полученные результаты, убеждаемся в его выполнении.
3.3. Общий метод расчета цепи на основе законов Ома
и Кирхгофа
Общий метод расчета токов и напряжений в электрической цепи на основе законов Ома и Кирхгофа пригоден для расчета сложных цепей с несколькими источниками сигнала.
Расчет начинается с задания обозначений и положительных направлений токов и напряжений для каждого элемента (сопротивления) цепи.
Система уравнений включает в себя подсистему компонентных уравнений, связывающих по закону Ома токи и напряжения в каждом элементе (сопротивлении) и подсистему
топологических уравнений, построенную на основе первого и второго законов Кирхгофа.
Рассмотрим расчет простой цепи из предыдущего примера, показанной на рис. 3.1, при тех же исходных данных.
Подсистема компонентных уравнений имеет вид
В цепи имеется два узла () и две ветви, не содержащие идеальных источников тока (). Следовательно, необходимо записать одно уравнение () по первому закону Кирхгофа,
и одно уравнение второго закона Кирхгофа (),
которые и образуют подсистему топологических уравнений.
Уравнения (3.4)-(3.6) являются полной системой уравнений цепи. Подставляя (3.4) в (3.6), получим
а, объединив (3.5) и (3.7), получим два уравнения с двумя неизвестными токами ветвей,
Выражая из первого уравнения (3.8) ток и подставляя его во второе, найдем значение тока ,
а затем найдем А. По вычисленным токам ветвей из компонентных уравнений (3.4) определим напряжения. Результаты расчета совпадают с полученными ранее в подразделе 3.2.
Рассмотрим более сложный пример расчета цепи в схеме, показанной на рис. 3.2, с параметрами Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом,
Цепь содержит узла (их номера указаны в кружках) и ветвей, не содержащих идеальные источники тока. Система компонентных уравнений цепи имеет вид
По первому закону Кирхгофа необходимо записать уравнения (узел 0 не используется),
По второму закону Кирхгофа составляется уравнения для трех независимых контуров, отмеченных на схеме окружностями со стрелками (внутри указаны номера контуров),
Подставляя (3.11) в (3.13), совместно с (3.12) получим систему шести уравнений вида
Из второго и третьего уравнений выразим
а из первого , тогда подставив и , получим . Подставляя токи , и в уравнения второго закона Кирхгофа, запишем систему из трех уравнений
которую после приведения подобных запишем в виде
Обозначим
и из третьего уравнения системы (3.15) запишем
Подставляя полученное значение в первые два уравнения (3.15), получим систему из двух уравнений вида
Из второго уравнения (3.18) получим
тогда из первого уравнения найдем ток
Вычислив , из (3.19) найдем , из (3.17) вычислим , а затем из уравнений подстановки найдем токи , , .
Как видно, аналитические вычисления достаточно громоздки, и для численных расчетов целесообразней использовать современные программные пакеты, например, MathCAD2001. Пример программы показан на рис. 3.3.
Матрица - столбец содержит значения токов А, А, А. Остальные
токи вычисляются согласно уравнениям (3.14) и равны
А, А, А. Вычисленные значения токов совпадают с полученными по приведенным выше формулам.
Общий метод расчета цепи по уравнениям Кирхгофа приводит к необходимости решения линейных алгебраических уравнений. При большом числе ветвей возникают математические и вычислительные трудности. Это означает, что целесообразно искать методы расчета, требующие составления и решения меньшего числа уравнений .
3.4. Метод контурных токов
Метод контурных токов базируется науравнениях второго закона Кирхгофа и приводит к необходимости решения уравнений, - число всех ветвей, в том числе и содержащих идеальные источники тока.
В цепи выбираются независимых контуров и для каждого -го из них вводится кольцевой (замкнутый) контурный ток (двойная индексация позволяет отличать кон-
турные токи от токов ветвей). Через контурные токи можно выразить все токи ветвей и для каждого независимого контура записать уравнения второго закона Кирхгофа. Система уравнений содержит уравнений, из которых определяются все контурные токи. По найденным контурным токам находятся токи или напряжения ветвей (элементов).
Рассмотрим пример цепи на рис. 3.1. На рис 3.4 приведена схема с указанием обозначений и положительных направлений двух контурных токов и ( , , ).
Рис. 3.4 Через ветвь проте-
кает только контурный ток и его направление совпадает с , поэтому ток ветви равен
В ветви протекают два контурных тока, ток совпадает по направлению с , а ток имеет противоположное направление, следовательно
Для контуров, не содержащих идеальные источники тока , составляем уравнения второго закона Кирхгофа с использованием закона Ома, в данном примере записывается одно уравнение
Если в контур включен идеальный источник тока , то для него
уравнение второго закона Кирхгофа не составляется , а его контурный ток равен току источника с учетом их положительных направлений, в рассматриваемом случае
Тогда система уравнений принимает вид
В результате подстановки второго уравнения в первое получим
тогда ток равен
а ток А. Из (3.21) А, а из (3.22) соответственно А, что полностью совпадает с полученными ранее результатами. При необходимости по найденным значениям токов ветвей по закону Ома можно вычислить напряжения на элементах цепи.
Рассмотрим более сложный пример цепи на рис. 3.2, схема которой с заданными контурными токами показана на рис. 3.5. В этом случае число ветвей , количество узлов , тогда число независимых контуров и уравнений по методу контурных токов равно . Для токов ветвей можно записать
Первые три контура не содержат идеальных источников тока, тогда с учетом (3.28) и использованием закона Ома для них можно записать уравнения второго закона Кирхгофа,
В четвертом контуре присутствует идеальный источник тока, поэтому для него уравнение второго закона Кирхгофа не составляется, а контурный ток равен току источника (они совпадают по направлению),
Подставляя (3.30) в систему (3.29), после преобразования получим три уравнения для контурных токов в виде
Систему уравнений (3.31) можно решить аналитически (например, методом подстановки – проделайте это ), получив формулы для контурных токов, а затем из (3.28) определить токи ветвей. Для численных расчетов удобно использовать пакет программ MathCAD, пример программы показан на рис. 3.6. Результаты вычислений совпадают с расчетами, приведенными на рис. 3.3. Как видно, метод контурных токов требует составления и решения меньшего числа уравнений по сравнению с общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа.
3.5. Метод узловых напряжений
Метод узловых напряжений базируется на первом законе Кирхгофа, при этом число уравнений равно .
В цепи выделяются все узлов и один из них выбирается в качестве базисного , которому присваивается нулевой потенциал. Потенциалы (напряжения) … остальных узлов отсчитываются от базисного, их положительные направления обычно выбираются стрелкой в базисный узел. Через узловые напряжения с использованием закона Ома и второго закона Кирхгофа выражаются токи всех ветвей
и для узлов записываются уравнения первого закона Кирхгофа.
Рассмотрим пример цепи, показанной на рис. 3.1, для метода узловых напряжений ее схема показана на рис. 3.7. Нижний узел обозначен как базисный (для этого используется символ «земля» - точка нулевого потенциала), напряжение верхнего узла относительно базисного обо-
Рис. 3.7 значено как . Выразим через
него токи ветвей
По первому закону Кирхгофа с учетом (3.32) запишем единственное уравнение метода узловых напряжений (),
Решая уравнение, получим
а из (3.32) определим токи ветвей
Полученные результаты совпадают с полученными рассмотренными ранее методами.
Рассмотрим более сложный пример цепи, показанной на рис. 3.2 при тех же исходных данных, ее схема показана на рис. 3.8. В цепи узла, нижний выбран базисным, а три остальные обозначены номерами в кружках. Введены
положительные на- Рис. 3.8
правления и обозна-
чения узловых напряжений , и .
По Закону Ома с использованием второго закона Кирхгофа определим токи ветвей,
По первому закону Кирхгофа для узлов с номерами 1, 2 и 3 необходимо составить три уравнения,
Подставляя (3.36) в (3.37), получим систему уравнений метода узловых напряжений,
После преобразования и приведения подобных получим
Программа расчета узловых напряжений и токов ветвей приведена на рис. 3.9. Как видно, полученные результаты совпадают с полученными ранее другими методами расчета.
Проведите аналитический расчет узловых напряжений, получите формулы для токов ветвей и вычислите их значения.
3.6. Метод наложения
Метод наложения заключается в следующем.
Расчет проводится следующим образом. В цепи, содержащей несколько источников, поочередно выбирается каждый из них, а остальные отключаются. При этом образуются цепи с одним источником, число которых равно количеству источников в исходной цепи. В каждой из них проводится расчет искомого сигнала, а результирующий сигнал определяется их суммой. В качестве примера рассмотрим расчет тока в цепи, показанной на рис. 3.2, ее схема показана на рис. 3.10а.
При выключении идеального источника тока (его цепь разрывается) получается цепь, показанная на рис. 3.9б, в которой любым из рассмотренных методов определяется ток . Затем выключается идеальный источник напряжения (он заменяется коротким замыканием) и получается цепь, показанная
на рис. 3.9а, в которой находится ток . Искомый ток равен
Проведите аналитические и численные расчеты самостоятельно , сравните с полученными ранее результатами, например, (3.20).
3.7. Сравнительный анализ методов расчета
Метод расчета, основанный на законе Ома, пригоден для сравнительно простых цепей с одним источником. Его нельзя использовать для анализа цепей сложной структуры, например, мостового типа вида рис.3.9.
Общий метод расчета цепи на основе уравнений законов Ома и Кирхгофа универсален, но требует составления и решения системы из уравнений, которая легко преобразуется в систему из уравнений. При большом числе ветвей резко возрастают вычислительные затраты, особенно при необходимости аналитических расчетов.
Методы контурных токов и узловых напряжений более эффективны, так как приводят к системам с меньшим числом уравнений, равным соответственно и . При условии
метод контурных токов эффективнее, а иначе целесообразно применять метод узловых напряжений.
Метод наложения удобен, когда при отключении источников происходит резкое упрощение цепи.
Задание 3.5. Общим методом расчета, методами контурных токов и узловых напряжений определите в цепи рис. 3.14 напряжение при мА кОм, кОм, кОм, кОм, кОм. Проведите сравнительный анализ
методов расчета. Рис. 3.14
4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТОКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
Электрические цепи постоянного тока и методы их расчета
1.1. Электрическая цепь и ее элементы
В электротехнике рассматривается устройство и принцип действия основных электротехнических устройств, используемых в быту и промышленности. Чтобы электротехническое устройство работало, должна быть создана электрическая цепь, задача которой передать электрическую энергию этому устройству и обеспечить ему требуемый режим работы.
Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электрическом токе, ЭДС (электродвижущая сила) и электрическом напряжении.
Для анализа и расчета электрическая цепь графически представляется в виде электрической схемы, содержащей условные обозначения ее элементов и способы их соединения. Электрическая схема простейшей электрической цепи, обеспечивающей работу осветительной аппаратуры, представлена на рис. 1.1.
Все устройства и объекты, входящие в состав электрической цепи, могут быть разделены на три группы:
1) Источники электрической энергии (питания).
Общим свойством всех источников питания является преобразование какого-либо вида энергии в электрическую. Источники, в которых происходит преобразование неэлектрической энергии в электрическую, называются первичными источниками. Вторичные источники – это такие источники, у которых и на входе, и на выходе – электрическая энергия (например, выпрямительные устройства).
2) Потребители электрической энергии.
Общим свойством всех потребителей является преобразование электроэнергии в другие виды энергии (например, нагревательный прибор). Иногда потребители называют нагрузкой.
3) Вспомогательные элементы цепи: соединительные провода, коммутационная аппаратура, аппаратура защиты, измерительные приборы и т.д., без которых реальная цепь не работает.
Все элементы цепи охвачены одним электромагнитным процессом.
В электрической схеме на рис. 1.1 электрическая энергия от источника ЭДС E, обладающего внутренним сопротивлением r 0 , с помощью вспомогательных элементов цепи передаются через регулировочный реостат R к потребителям (нагрузке): электрическим лампочкам EL 1 и EL 2 .
1.2. Основные понятия и определения для электрической цепи
Для расчета и анализа реальная электрическая цепь представляется графически в виде расчетной электрической схемы (схемы замещения). В этой схеме реальные элементы цепи изображаются условными обозначениями, причем вспомогательные элементы цепи обычно не изображаются, а если сопротивление соединительных проводов намного меньше сопротивления других элементов цепи, его не учитывают. Источник питания показывается как источник ЭДС E с внутренним сопротивлением r 0 , реальные потребители электрической энергии постоянного тока заменяются их электрическими параметрами: активными сопротивлениями R 1 , R 2 , …, R n . С помощью сопротивления R учитывают способность реального элемента цепи необратимо преобразовывать электроэнергию в другие виды, например, тепловую или лучистую.
При этих условиях схема на рис. 1.1 может быть представлена в виде расчетной электрической схемы (рис. 1.2), в которой есть источник питания с ЭДС E и внутренним сопротивлением r 0 , а потребители электрической энергии: регулировочный реостат R, электрические лампочки EL 1 и EL 2 заменены активными сопротивлениями R, R 1 и R 2 .
Источник ЭДС на электрической схеме (рис. 1.2) может быть заменен источником напряжения U, причем условное положительное направление напряжения U источника задается противоположным направлению ЭДС.
При расчете в схеме электрической цепи выделяют несколько основных элементов.
Ветвь электрической цепи (схемы) – участок цепи с одним и тем же током. Ветвь может состоять из одного или нескольких последовательно соединенных элементов. Схема на рис. 1.2 имеет три ветви: ветвь bma, в которую включены элементы r 0 , E, R и в которой возникает ток I; ветвь ab с элементом R 1 и током I 1 ; ветвь anb с элементом R 2 и током I 2 .
Узел электрической цепи (схемы) – место соединения трех и более ветвей. В схеме на рис. 1.2 – два узла a и b. Ветви, присоединенные к одной паре узлов, называют параллельными. Сопротивления R 1 и R 2 (рис. 1.2) находятся в параллельных ветвях.
Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. В схеме на рис. 1.2 можно выделить три контура: I – bmab; II – anba; III – manbm, на схеме стрелкой показывают направление обхода контура.
Условные положительные направления ЭДС источников питания, токов во всех ветвях, напряжений между узлами и на зажимах элементов цепи необходимо задать для правильной записи уравнений, описывающих процессы в электрической цепи или ее элементах. На схеме (рис. 1.2) стрелками укажем положительные направления ЭДС, напряжений и токов:
а) для ЭДС источников – произвольно, но при этом следует учитывать, что полюс (зажим источника), к которому направлена стрелка, имеет более высокий потенциал по отношению к другому полюсу;
б) для токов в ветвях, содержащих источники ЭДС – совпадающими с направлением ЭДС; во всех других ветвях произвольно;
в) для напряжений – совпадающими с направлением тока в ветви или элемента цепи.
Все электрические цепи делятся на линейные и нелинейные.
Элемент электрической цепи, параметры которого (сопротивление и др.) не зависят от тока в нем, называют линейным, например электропечь.
Нелинейный элемент, например лампа накаливания, имеет сопротивление, величина которого увеличивается при повышении напряжения, а следовательно и тока, подводимого к лампочке.
Следовательно, в линейной электрической цепи все элементы – линейные, а нелинейной называют электрическую цепь, содержащую хотя бы один нелинейный элемент.
1.3. Основные законы цепей постоянного тока
Расчет и анализ электрических цепей производится с использованием закона Ома, первого и второго законов Кирхгофа. На основе этих законов устанавливается взаимосвязь между значениями токов, напряжений, ЭДС всей электрической цепи и отдельных ее участков и параметрами элементов, входящих в состав этой цепи.
Закон Ома для участка цепи
Соотношение между током I, напряжением UR и сопротивлением R участка аb электрической цепи (рис. 1.3) выражается законом Ома
Рис. 1.3В этом случае закон Ома для участка цепи запишется в виде:
Закон Ома для всей цепи
Этот закон определяет зависимость между ЭДС Е источника питания с внутренним сопротивлением r 0 (рис. 1.3), током I электрической цепи и общим эквивалентным сопротивлением R Э = r 0 + R всей цепи:
.Сложная электрическая цепь содержит, как правило, несколько ветвей, в которые могут быть включены свои источники питания и режим ее работы не может быть описан только законом Ома. Но это можно выполнить на основании первого и второго законов Кирхгофа, являющихся следствием закона сохранения энергии.
Первый закон Кирхгофа
В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю
,где m – число ветвей подключенных к узлу.
При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а токи, направленные от узла – со знаком «минус». Например, для узла а (см. рис. 1.2) I - I 1 - I 2 = 0.
Второй закон Кирхгофа
В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках
,где n – число источников ЭДС в контуре;
m – число элементов с сопротивлением R к в контуре;
U к = R к I к – напряжение или падение напряжения на к-м элементе контура.
Для схемы (рис. 1.2) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:
Если в электрической цепи включены источники напряжений, то второй закон Кирхгофа формулируется в следующем виде: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах контру, включая источники ЭДС равна нулю
.При записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо:
1) задать условные положительные направления ЭДС, токов и напряжений;
2) выбрать направление обхода контура, для которого записывается уравнение;
3) записать уравнение, пользуясь одной из формулировок второго закона Кирхгофа, причем слагаемые, входящие в уравнение, берут со знаком «плюс», если их условные положительные направления совпадают с обходом контура, и со знаком «минус», если они противоположны.
Расчет электрических цепей постоянного токаОсновными законами, определяющими расчет электрической цепи , являются законы Кирхгофа.
На основе законов Кирхгофа разработан ряд практических методов расчета электрических цепей постоянного тока , позволяющих сократить вычисления при расчете сложных схем.
Существенно упростить вычисления, а в некоторых случаях и снизить трудоемкость расчета, возможно с помощью эквивалентных преобразований схемы.
Преобразуют параллельные и последовательные соединения элементов, соединение «звезда » в эквивалентный «треугольник » и наоборот. Осуществляют замену источника тока эквивалентным источником ЭДС. Методом эквивалентных преобразований теоретически можно рассчитать любую цепь, и при этом использовать простые вычислительные средства. Или же определить ток в какой-либо одной ветви, без расчета токов других участков цепи.
В данной статье по теоретическим основам электротехники рассмотрены примеры расчета линейных электрических цепей постоянного тока с использованием метода эквивалентных преобразований типовых схем соединения источников и потребителей энергии, приведены расчетные формулы.
Решение задач
Задача 1. Для цепи (рис . 1), определить эквивалентное сопротивление относительно входных зажимов a−g , если известно: R 1 = R 2 = 0,5 Ом, R 3 = 8 Ом, R 4 = R 5 = 1 Ом, R 6 = 12 Ом, R 7 = 15 Ом, R 8 = 2 Ом, R 9 = 10 Ом, R 10 = 20 Ом.
Начнем эквивалентные преобразования схемы с ветви наиболее удаленной от источника, т.е. от зажимов a−g :
Задача 2. Для цепи (рис . 2, а ), определить входное сопротивление если известно: R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = 40 Ом.
Рис. 2
Исходную схему можно перечертить относительно входных зажимов (рис . 2, б ), из чего видно, что все сопротивления включены параллельно. Так как величины сопротивлений равны, то для определения величины эквивалентного сопротивления можно воспользоваться формулой:
где R - величина сопротивления, Ом;
n - количество параллельно соединенных сопротивлений.
Задача 3. Определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов a-b , если R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R 6 = 10 Ом (рис . 3, а ).
Преобразуем соединение «треугольник » f−d−c в эквивалентную «звезду ». Определяем величины преобразованных сопротивлений (рис . 3, б ):
По условию задачи величины всех сопротивлений равны, а значит:
На преобразованной схеме получили параллельное соединение ветвей между узлами e-b , тогда эквивалентное сопротивление равно:
И тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы представляет последовательное соединение сопротивлений:
Задача 4. В заданной цепи (рис . 4, а ) входные сопротивления ветвей a− b , c- d и f−b , если известно, что: R 1 = 4 Ом, R 2 = 8 Ом, R 3 =4 Ом, R 4 = 8 Ом, R 5 = 2 Ом, R 6 = 8 Ом, R 7 = 6 Ом, R 8 =8 Ом.
Для определения входного сопротивления ветвей исключают из схемы все источники ЭДС. При этом точки c и d , а также b и f соединяются накоротко, т.к. внутренние сопротивления идеальных источников напряжения равны нулю.
Ветвь a− b разрывают, и т.к. сопротивление R a -b = 0, то входное сопротивление ветви равно эквивалентному сопротивлению схемы относительно точек a и b (рис . 4, б ):
Аналогично методом эквивалентных преобразований определяются входные сопротивления ветвей R cd и R bf . Причем, при вычислении сопротивлений учтено, что соединение накоротко точек a и b исключает ( «закорачивает ») из схемы сопротивления R 1 , R 2 , R 3 , R 4 в первом случае, и R 5 , R 6 , R 7 , R 8 во втором случае.
Задача 5. В цепи (рис . 5) определить методом эквивалентных преобразований токи I 1 , I 2 , I 3 и составить баланс мощностей , если известно: R 1 = 12 Ом, R 2 = 20 Ом, R 3 = 30 Ом, U = 120 В.
Эквивалентное сопротивление для параллельно включенных сопротивлений:
Эквивалентное сопротивление всей цепи:
Ток в неразветвленной части схемы:
Напряжение на параллельных сопротивлениях:
Токи в параллельных ветвях:
Баланс мощностей :
Задача 6. В цепи (рис . 6, а ), определить методом эквивалентных преобразований показания амперметра , если известно: R 1 = 2 Ом, R 2 = 20 Ом, R 3 = 30 Ом, R 4 = 40 Ом, R 5 = 10 Ом, R 6 = 20 Ом, E = 48 В. Сопротивление амперметра можно считать равным нулю.
Если сопротивления R 2 , R 3 , R 4 , R 5 заменить одним эквивалентным сопротивлением R Э , то исходную схему можно представить в упрощенном виде (рис . 6, б ).
Величина эквивалентного сопротивления:
Преобразовав параллельное соединение сопротивлений R Э и R 6 схемы (рис . 6, б ), получим замкнутый контур, для которого по второму закону Кирхгофа можно записать уравнение:
откуда ток I 1:
Напряжение на зажимах параллельных ветвей U ab выразим из уравнения по закону Ома для пассивной ветви, полученной преобразованием R Э и R 6:
Тогда амперметр покажет ток:
Задача 7. Определить токи ветвей схемы методом эквивалентных преобразований (рис . 7, а ), если R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = 3 Ом, J = 5 А, R 5 = 5 Ом.
На практике разработан ряд методов для определения и расчета схем с постоянным током, что предоставляет возможность уменьшить трудоемкий процесс вычисления трудных электрических цепей. Основными законами, с помощью которых определяются характеристики практически каждой схемы, являются постулаты Кирхгофа.
Пути вычисления электрических схем
Расчет электрических цепей разветвляется на множество методов, используемых на практике, а именно: метод эквивалентных преобразований, прием, основанный на постулатах Ома и Кирхгофа, способ наложения, способ контурных токов, метод узловых потенциалов, метод идентичного генератора.
Процесс расчета электрической цепи состоит из нескольких обязательных этапов, позволяющих довольно быстро и точно произвести все расчеты.
Перед тем, как узнать или вычислить необходимые параметры, рассчитываемая электрическая цепь переносится схематически на бумагу, где содержатся символические обозначения входящих в ее состав элементов и порядок их соединения.
Все элементы и устройства подразделяются на три категории:
- Источники электропитания. Основным признаком данного элемента является превращение неэлектрической энергии в электрическую. Эти источники энергии именуются первичными источниками энергии. Вторичные источники энергии представляют собой такие устройства, на входах и выходах которых присутствует электрическая энергия. К ним относятся выпрямительные приборы или трансформаторы напряжения;
- Устройства, потребляющие электрическую энергию. Такие элементы преобразовывают электрическую энергию в любую другую, будь то свет, звук, тепло и тому подобные виды;
- Вспомогательные элементы цепи, к которым относятся провода соединений, аппаратура коммутации, защиты и другие подобные элементы.
Также к основным понятиям электрической схемы относятся:
- Ветвь электрической схемы – участок цепи с одним и тем же током. В состав такой ветви могут входить один или несколько последовательно соединенных элементов;
- Узел электрической схемы – точка соединения трех и более ветвей схемы;
- Контур электрической схемы, представляющий собой любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.
Метод расчета по законам Ома и Кирхгофа
Данные законы позволяют узнать силу тока и найти взаимосвязь между значениями токов, напряжений, ЭДС всей цепи и единичных участков.
Закон Ома для участка цепи
По закону Ома соотношение тока, напряжения и сопротивления цепи выглядит как:
Исходя из этой формулы, найти силу тока можно по выражению:
- UR – напряжение или падение напряжения на резисторе;
- I – ток в резисторе.
Закон Ома для полной цепи
В законе Ома для полной цепи дополнительно используется величина внутреннего сопротивления источника питания. Найти силу тока с учетом внутреннего сопротивления возможно по выражению:
I=E/Rэ = E/r0+R, где:
- E – ЭДС источника питания;
- rо – внутреннее сопротивление источника питания.
Поскольку сложная электрическая цепь, состоящая из нескольких ветвей и имеющая в своей структуре ряд устройств питания, не может быть описана законом Ома, то применяют 1-ый и 2-ой закон Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа
Закон Кирхгофа гласит, что сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него, это выглядит как:
∑mIk=0, где m – число ветвей, подведенных к узлу.
Согласно закону Кирхгофа, токи, втекающие в узел, используются со знаком «+», а токи, вытекающие из узла, – со знаком «-».
Второй закон Кирхгофа
Из второго закона Кирхгофа следует, что сумма падений напряжений на всех элементах цепи равна сумме ЭДС цепи, выглядит как:
∑nEk=∑mRkIk=∑mUk, где:
- n – число источников ЭДС в контуре;
- m – число элементов с сопротивлением Rk в контуре;
- Uk=RkIk – напряжение или падение напряжения на k-том элементе контура.
Перед применением второго закона Кирхгофа следует проверить выполнение следующих требований:
- Указать относительно положительные направления ЭДС, токов и напряжений;
- Указать направление обхода контура, описываемого уравнением;
- Применяя одну из трактовок 2-го закона Кирхгофа, характеристики входящие в уравнение используются со знаком «+», если их относительно положительные направления схожи с обходом контура, и с «-», если они разнонаправленные.
Из 2-го закона Кирхгофа следует выражение баланса мощностей, по которому мощность источников питания в любой момент времени равна сумме мощностей, расходуемых на всех участках цепи. Уравнение баланса мощностей имеет вид:
Метод преобразования электрической цепи
Элементы в электрических цепях могут соединяться параллельно, последовательно, смешанным способом и по схемам «звезда», «треугольник». Расчет таких схем упрощается путем замены нескольких сопротивлений на эквивалентное сопротивление, и дальнейшие вычисления уже проводятся по закону Ома либо Кирхгофа.
Под смешанным соединением элементов подразумевается одновременное присутствие в схеме и последовательного, и параллельного соединения элементов. При этом сопротивление смешанного соединения вычисляется после преобразования схемы в эквивалентную цепь с помощью формул, приведенных на рис. выше.
Также встречается соединение элементов «звездой» и «треугольником». Для нахождения эквивалентного сопротивления необходимо первоначально преобразовать схему «треугольник» в «звезду». По картинке ниже, сопротивления равны:
- R1=R12R31/R12+R31+R23,
- R2=R12R23/R12+R31+R23,
- R3=R31R23/R12+R31+R23.
Дополнительные методы расчета цепей
Все дополнительные методы расчета цепей в той или иной мере являются или основаны на первом и втором законах Кирхгофа. К этим методам относятся:
- Метод контурных токов – основан на введении дополнительных величин контурных токов, удовлетворяющих 1-му закону Кирхгофа;
- Метод узловых потенциалов – с его помощью находят потенциалы всех узлов схемы и затем по известным потенциалам токи во всех ветвях. Метод базируется на первом законе Кирхгофа;
- Метод эквивалентного генератора – этот метод предоставляет решение задачи, как найти ток только в одной или нескольких ветвях. Суть метода в том, что любую электрическую цепь по отношению к исследуемой ветви можно представить в виде эквивалентного генератора;
- Метод наложения – основан на том, что ток в цепи или ветви схемы равен алгебраической сумме токов, наводимых каждым источником в отдельности.
Основная часть методов расчета направлена на упрощение процедуры определения токов в ветвях схемы. Эти мероприятия проводятся либо упрощением систем уравнений, по которым проводятся расчеты, либо упрощением самой схемы. Основываясь, в первую очередь, на постулаты Кирхгофа, любой из методов отвечает на вопрос: как определить силу тока и напряжение электрической цепи.
Видео
Сложной электрической цепью называют цепь с несколькими замкнутыми контурами, с любым размещением в ней источников питания и потребителей, которую нельзя свести к сочетанию последовательных и параллельных соединений.
Основными законами для расчета цепей наряду с законом Ома являются два закона Кирхгофа, пользуясь которыми, можно найти распределение токов и напряжений на всех участках любой сложной цепи.
В § 2-15 мы ознакомились с одним методом расчета сложных цепей, методом наложения.
Сущность этого метода заключается в том, что ток в какой-либо ветви является алгебраической суммой токов, создаваемых в ней всеми поочередно действующими э. д. с. цепи.
Рассмотрим расчет сложной цепи методом узловых и контурных уравнений или уравнений по законам Кирхгофа.
Для нахождения токов во всех ветвях цепй необходимо знать сопротивления ветвей, а также величины и направления всех э. д. с.
Перед составлением уравнений по законам Кирхгофа следует произвольно задаться направлениями токов в ветвях, показав их на схеме стрелками. Если выбранное направление тока в какой-либо ветви противоположно действительному, то после решения уравнений этот ток получается со знаком минус.
Число необходимых уравнений равно числу неизвестных токов; число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов цепи, остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать наиболее простые контуры, причем каждый из них должен содержать хотя бы одну ветвь, не входившую в ранее составленные уравнения.
Расчет сложной цепи с применением двух уравнений Кирхгофа рассмотрим на примере.
Пример 2-12. Вычислить токи во всех ветвях цепи рис. 2-11, если э. д. с. источников , а сопротивления ветвей .
Внутренними сопротивлениями источников пренебречь.
Рис. 2-11. Сложная электрическая цепь с двумя источниками питания.
Выбранные произвольно направления токов в ветвях показаны на рис. 2-11.
Так как число неизвестных токов три, то необходимо составить три уравнения.
При двух узлах цепи необходимо одио узловое уравнение. Напишем его для точки В:
4 Второе уравнение напишем, обходя по направлению движения часовой стрелки контур АБВЖЗА,
Третье уравнение напишем, обходя по направлению движения часовой стрелки контур АГВЖЗА,
Заменив в уравнениях (2-49) и (2-50) буквенные обозначения числовыми значениями, получим:
Заменив в последнем уравнении ток его выражением уравнения (2-48), получим;
Умножив уравнение (2-52а) на 0,3 и сложив с уравнением (2-51), получим.