Система счисления
(СС)-это совокупность приёмов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.
Алфавит
СС - набор символов(цифр), используемых для записи числа.
Основание
СС (мощность алфавита СС) - количество символов(цифр) алфавита СС.
Все системы счисления делятся на позиционные
и непозиционные
. Непозиционная
система счисления - это система, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит
от ее положения (места, позиции) в записи числа.
Итак, в непозиционных системах счисления позиция, которую цифра занимает в записи числа, роли не играет. Так, например, римская система счисления непозиционная. В числах XI и IX "вес” обоих цифр одинаков, несмотря на их месторасположение.
Позиционные системы счисления
Позиционная система счисления это система, в которой значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Основание системы счисления количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисленияОснование системы счисления определяет её название: основание p - p-ая система счисления.
Например, система счисления в основном, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой, её основание равно десяти. Для записи любых чисел в ней используется десять всем хорошо известных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
Итак, мы сказали, что в позиционных системах счислениях имеет значение позиция, которую цифра занимает в записи числа. Так, запись 23 означает, что это число можно составить из 3 единиц и 2 десятков. Если мы поменяем позиции цифр, то получим совсем другое число – 32. Это число содержит 3 десятка и 2 единицы. «Вес» двойки уменьшился в десять раз, а «вес» тройки в десять раз возрос.
Развернутая запись числа
Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p
может
быть представлено в виде многочлена от p
:
N=a k
p k + a k-1 p k-1 +a k-2
p k-2 +...+a 1 p 1 +a 0
p 0 +a -1 p -1 +a -2
p -2 +...,
где N - число, p - основание системы счисления (p>1), a i -
цифры числа (коэффициенты при степени p).
Числа в p-ой системе счисления записываются в виде последовательности цифр:
N=a k a k-1 a k-2 ...a 1 a 0
, a -1 a -2...
Запятая в последовательности отделяет целую часть числа от дробной.
3210 -1-2
N=4567,12
10
=4
*10
3 +5
*10
2 +6
*10
1 +7
*10
0 +1
*10
-1 +2
*10
-2
Двоичная система счисления
Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы для использования в компьютере объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0. Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.В этой системе счисления любое число может быть представлено в виде:
N=a k 2 k + a k-1 2 k-1 +a k-2 2 k-2 +...+a 1 2 1 +a 0 2 0 +a -1 2 -1 +a -2 2 -2 +....
Например:11001,01 2 =1 *2 4 +1 *2 3 +0 *2 2 +0 *2 1 +1 *2 0 +0 *2 -1 +1 *2 -2 (развернутая запись числа в двоичной системе счисления)
Двоичная арифметика
Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным правилам.Сложение
Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
1+1+1=11
Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит
переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение
разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или больше
основания системы счисления. Для двоичной системы счисления эта величина равна
двум.
Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствие с
вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших
разрядов с старшие.
Вычитание
Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначается 1 с чертой.0-0=_0
0-1=11
1-0=1
1-1=0
Сложение и вычитание многоразрядных двоичных чисел (примеры)
Умножение
В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с приведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Деление
Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только надо пользоваться особыми таблицами сложения и умножения для каждой системы.
1. Сложение
Таблицы сложения легко составить, используя правила счета.
При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления .
Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.
Шестнадцатеричная : F 16 +7 16 +3 16 |
15+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 . Проверка: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3 . 8 1 + 1 . 8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1 . 16 1 + 9 . 16 0 = 16+9 = 25. |
Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75 .
Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду :
11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25
311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25
C9,4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25
2. Вычитание
Вычитание в двоичной системе счисления
заем |
Вычитание в шестнадцатеричной системе счисления
Заем единицы из старшего разряда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычитание в восьмеричной системе счисления
|
Заем единицы из старшего разряда
Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10 2 , 10 8 и 10 16
Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100 2 , 100 8 и 100 16 .
Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.
Ответ: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16 .
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;
215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;
8D,8 16 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.
Т.к. в двоичной системе счисления в записи чисел используются только 2 цифры – 0 и 1, значит при сложении 1 + 1 в младшем разряде записывается 0, а 1 переходит в старший разряд.
По аналогии с 10-сс: 9 + 1 (цифры десять нет в записи чисел), записывается 0 и 1 в старшем разряде, получается 10.
Примеры
1) Сложим в столбик 10110 2 и 111011 2 . Единицы сверху обозначают перенос из предыдущего разряда:
2) Выполнить сложение для следующих двоичных чисел:
3) Сложить числа:10000000100 2 + 111000010 2 и выполнить проверку
10000000100 2 + 111000010 2 = 10111000110 2 .
Выполним проверку результатов расчетов переводом в десятичную систему счисления. Для этого переведем каждое слагаемое и сумму в десятичную систему счисления, выполним сложение слагаемых в десятичной системе счисления. Результат должен совпасть с суммой.
10000000100 2 = 1 × 2 10 + 1 × 2 2 = 1024 + 4 = 1028 10
111000010 2 = 1× 2 8 + 1× 2 7 + 1× 2 6 + 1 × 2 1 = 256 + 128 + 64 + 2 = 450 10
10111000110 2 = 1 × 2 10 + 1 × 2 8 + 1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 =
1024 + 256 + 128 + 64 + 4 + 2 =1478 10
1028 10 + 450 10 =1478 10 .
Результаты совпадают, следовательно, вычисления в двоичной системе счисления выполнены верно.
Восьмеричные числа
Таблица сложения восьмеричных чисел
+ | ||||||||
При вычислениях в восьмеричной системе нужно помнить, что максимальная цифра – это 7. Перенос при сложении возникает тогда, когда сумма в очередном разряде получается больше 7. Заем из старшего разряда равен 10 8 = 8, а все «промежуточные» разряды заполняются цифрой 7 – старшей цифрой системы счисления.
Пример
1) В примере запись 1⋅8 + 2 означает, что получилась сумма, большая 7, которая не помещается в один разряд. Единица идет в перенос, а двойка остается в этом разряде.
2) Выполнить сложение 223,2 8 + 427,54 8 и осуществить проверку полученного результата.
223,2 8 + 427,54 8 = 652,74 8 .
Выполним проверку результатов расчетов переводом в десятичную систему счисления:
223,2 8 = 2 × 8 2 + 2 × 8 1 + 3 × 8 0 + 2 × 8 -1 = 128 + 16 + 3 + 0,25 =
427,54 8 = 4 × 8 2 + 2 × 8 1 + 7 × 8 0 + 5 × 8 -1 + 4 × 8 -2 =
256 + 16 + 7 + 0,625 + 0,0625= 279,6875 10
652,74 8 = 6 × 8 2 + 5 × 8 1 + 2 × 8 0 + 7 × 8 -1 + 4 × 8 -2 =
384 + 40 + 2 + 0,875 + 0,0625 = 426,9375 10
147,25 10 + 279,6875 10 =426,9375 10
Результаты совпадают, следовательно, вычисления в восьмеричной системе счисления выполнены верно.
Шестнадцатеричные числа
Таблица сложения шестнадцатеричных чисел
+ | A | B | C | D | E | F | ||||||||||
A | B | C | D | E | F | |||||||||||
A | B | C | D | E | F | |||||||||||
A | B | C | D | E | F | |||||||||||
A | B | C | D | E | F | |||||||||||
A | B | C | D | E | F | |||||||||||
A | B | C | D | E | F | |||||||||||
A | B | C | D | E | F | |||||||||||
A | B | C | D | E | F | |||||||||||
A | B | C | D | E | F | |||||||||||
A | B | C | D | E | F | |||||||||||
A | A | B | C | D | E | F | ||||||||||
B | B | C | D | E | F | 1A | ||||||||||
C | C | D | E | F | 1A | 1B | ||||||||||
D | D | E | F | 1A | 1B | 1C | ||||||||||
E | E | F | 1A | 1B | 1C | 1D | ||||||||||
F | F | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E |
При выполнении сложения нужно помнить, что в системе с основанием 16 перенос появляется тогда, когда сумма в очередном разряде превышает 15. Удобно сначала переписать исходные числа, заменив все буквы на их численные значения.
Примеры
2) Выполнить сложение 3B3,6 16 + 38B,4 16 и осуществить проверку
3B3,6 16 + 38B,4 16 = 73E,A 16 .
Выполним проверку:
3B3,6 16 = 3 × 16 2 + 11 × 16 1 + 3 × 16 0 + 6 × 16 -1 = 768 + 176 +
3 + 0,375 = 947,375 10
38B,4 16 = 3 × 16 2 + 8 × 16 1 + 11 × 16 0 + 4 × 16 -1 = 768 + 128 +
11 + 0,25 = 907,25 10
73E,A 16 = 7 × 8 2 + 3 × 8 1 + 14 × 8 0 + 10 × 8 -1 = = 1792 + 48 + 14 + 0,625 = 1854,625 10
947,375 10 + 907,25 10 = 1854,625 10 .
Результаты совпадают, следовательно, вычисления в шестнадцатеричной системе счисления выполнены верно.
Вычитание
Двоичные числа
Вычитание выполняется почти так же, как и в десятичной системе. Вот основные правила:
0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 10 2 – 1 = 1.
В последнем случае приходится брать заем из предыдущего разряда.
Вычитание производится по аналогии с десятичной системой счисления.
Чтобы понять принцип, временно вернемся к десятичной системе. Вычтем в столбик из числа 21 число 9:
Поскольку из 1 нельзя вычесть 9, нужно взять заем из предыдущего разряда, в котором стоит 2. В результате к младшему разряду добавляется 10, а в следующем 2 уменьшается до 1. Теперь можно выполнить вычитание: 1 + 10 – 9 = 2. В старшем разряде вычитаем из оставшейся единицы ноль:
Более сложный случай – заем из дальнего (не ближайшего) разряда. Вычтем 9 из 2001. В этом случае занять из ближайшего разряда не удается (там 0), поэтому берем заем из того разряда, где стоит цифра 2. Все промежуточные разряды в результате заполняются цифрой 9, это старшая цифра десятичной системы счисления:
В двоичной системе счисления, когда берется заем, в «рабочий» разряд добавляется уже не 10, а 102 = 2 (основание системы счисления), а все «промежуточные» разряды (между «рабочим» и тем, откуда берется заем) заполняются не девятками, а единицами (старшей цифрой системы счисления).
Примеры
Если требуется вычесть большее число из меньшего, вычитают меньшее из большего и ставят у результата знак «минус»:
3) 4)
Восьмеричные числа
1)
При вычитании «– 1» означает, что из этого разряда раньше был заем (его значение уменьшилось на 1), а «+ 8» – заем из следующего разряда.
2) Вычитание
Шестнадцатеричные числа
При вычитании заем из старшего разряда равен 10 16 = 16, а все «промежуточные» разряды заполняются цифрой F – старшей цифрой системы счисления.
Например,
1)
2)
Умножение
Двоичные числа
х | ||
Умножение и деление столбиком в двоичной системе выполняются практически так же, как и в десятичной системе (но с использованием правил двоичного сложения и вычитания).
Например,
1) 2)
Восьмеричные числа
Восьмеричная таблица умножения
´ | ||||||||
С помощью восьмеричной таблицы умножения пользуясь теми же правилами, которые применяются в десятичной системе счисления, производятся умножение и деление восьмеричных многоразрядных чисел.
Пример
Шестнадцатеричные числа
Таблица умножения
´ | A | B | C | D | E | F | ||||||||||
A | B | C | D | E | F | |||||||||||
A | C | E | 1A | 1C | 1E | |||||||||||
C | F | 1B | 1E | 2A | 2D | |||||||||||
C | 1C | 2C | 3C | |||||||||||||
A | F | 1E | 2D | 3C | 4B | |||||||||||
C | 1E | 2A | 3C | 4E | 5A | |||||||||||
E | 1C | 2A | 3F | 4D | 5B | |||||||||||
1B | 2D | 3F | 5A | 6C | 7E | |||||||||||
A | A | 1E | 3C | 5A | 6E | 8C | ||||||||||
B | B | 2C | 4D | 6E | 8F | 9A | A5 | |||||||||
C | C | 3C | 6C | 9C | A8 | B4 | ||||||||||
D | D | 1A | 4E | 5B | 8F | 9C | A9 | B6 | C3 | |||||||
E | E | 1C | 2A | 7E | 8C | 9A | A8 | B6 | C4 | D2 | ||||||
F | F | 1E | 2D | 3C | 4B | 5A | A5 | B4 | C3 | D2 | E1 |
Пример
Деление отдельно в десятичную систему, так как для чисел от 0 до 7 их восьмеричная запись совпадает с десятичной);
3) Складываем
Решение (через шестнадцатеричную систему):
1) (сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на тетрады справа налево , каждую тетраду перевели в шестнадцатеричную систему; при этом тетрады можно переводить из двоичной системы в десятичную, а затем заменить все числа, большие 9, на буквы – A, B, C, D, E, F);
2) , никуда переводить не нужно;
3) складываем
4) переводим в шестнадцатеричную систему все ответы:
121 8 = 001 010 001 2 = 0101 0001 2 = 51 16 (перевели в двоичную систему по триадам, разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели отдельно в десятичную систему, все числа, большие 9, заменили на буквы – A, B, C, D, E, F).
171 2 = 001 111 001 2 = 0111 1001 2 = 79 16 ,
69 16 , переводить не нужно
1000001 2 = 0100 0001 2 = 41 16 .
Арифметические операции в позиционных системах счисления
Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.
Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.
Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110 2 и 11 2:
Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:
110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10 ;
11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10 ;
6 10 + 3 10 = 9 10 .
Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:
1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10 .
Сравним результаты - сложение выполнено правильно.
Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:
Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:
Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 110 2 на 11 2:
Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.
Задания
1.22. Провести сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 1010 2 и 10 2 и проверить правильность выполнения арифметических действий с помощью электронного калькулятора.
1.23. Сложить восьмеричные числа: 5 8 и 4 8 , 17 8 и 41 8 .
1.24. Провести вычитание шестнадцатеричных чисел: F 16 и А 16 , 41 16 и 17 16 .
1.25. Сложить числа: 17 8 и 17 16 , 41 8 и 41 16